Méthode itérative :
Pour trouver un zéro \(\alpha\), on va construire une suite \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) telle que $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } u_n=\alpha$$
(Limite, Suite réelle)
On dit qu'une suite d'approximation \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge vers \(\alpha\) si $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\lvert u_n-\alpha\rvert=0$$
(Limite, Erreur)
On dit que la convergence est d'ordre au moins \(p\in{\Bbb N}^*\) s'il existe \(C\gt 0\) et \(n_0\in{\Bbb N}\) tels que : $$\forall n\geqslant n_0,\quad\begin{align}\lvert u_{n+1}-\alpha\rvert&\leqslant C\lvert u_n-\alpha\rvert^p\\ \frac{\lvert u_{n+1}-\alpha\rvert}{\lvert u_n-\alpha\rvert^p}& \leqslant C\end{align}$$
Si \(p=1\), la convergence est linéaire
Si \(p=2\), la convergence est quadratique
Critères d'arrêt associés à une tolérance \(\tau\) donnée :
- \(\lvert g(u_{n+1})\lvert\lt \tau\) (à privilégier si on cherche le zéro de \(g\))
- \(\lvert u_{n+1}-u_n\rvert\lt \tau\)
- \(\cfrac{\lvert u_{n+1}-u_n\rvert}{\lvert u_{n+1}\rvert}\lt \tau\) (à privilégier si \(\alpha\) est proche de \(0\))
Dichotomie - Bissection
Méthode de la fausse position - Regula falsi
Méthode de Newton
Méthode de la sécante
On peut faire le lien entre point fixe et zéro en réécrivant le problème \(g(s)=0\) en \(h(s)=s\)
Méthode de Héron d’Alexandrie
Calcul approché de \(\frac{\pi^2}6=\sum_{k\geqslant1}\frac1{k^2}\) (Série de Riemann)
